Задание 19. Разность трехзначного числа и суммы кубов его цифр

[Шпренгер Константин]

Пункт в) Рассмотрим R(x) = 100a + 10b + c - a^3 - b^3 - c^3
Преобразуем R(x)
R(x) = a(100 - a^2) + b(10 - b^2) + c(1 - c^2)
Рассмотрим по отдельности слагаемые выражения.
При целых неотрицательных значениях a,b и c (1<=a<=9; 0<=b<=9 ;0<=c<=9), квадраты этих чисел при делении на 3 будут давать остаток 1 или 0, то есть если a, b или с делится на 3 без остатка, то соответствующее ему слагаемое делится на 3 без остатка, а если а,b или с не делится на 3 без остатка, что соответствующее ему выражение внутри скобок делится на 3 без остатка, из этого можно сделать вывод, что каждое из этих слагаемых делится на 3 без остатка => R(x) делится на 3.
Приведу пример:
Число 112: R(x) = 112 = 1 - 1 - 8 = 102, Так как числа 101 и 100 не делятся на 3, то можно сделать вывод, что 102 - это наименьшее трёхзначное натуральное значение R(x)

Ответ: 102

[Яков Самуилович]

Пункт в) Рассмотрим R(x) = 100a + 10b + c - a^3 - b^3 - c^3
Преобразуем R(x)
R(x) = a(100 - a^2) + b(10 - b^2) + c(1 - c^2)
Рассмотрим по отдельности слагаемые выражения.
При целых неотрицательных значениях a,b и c (1<=a<=9; 0<=b<=9 ;0<=c<=9), квадраты этих чисел при делении на 3 будут давать остаток 1 или 0, то есть если a, b или с делится на 3 без остатка, то соответствующее ему слагаемое делится на 3 без остатка, а если а,b или с не делится на 3 без остатка, что соответствующее ему выражение внутри скобок делится на 3 без остатка, из этого можно сделать вывод, что каждое из этих слагаемых делится на 3 без остатка => R(x) делится на 3.
Приведу пример:
Число 112: R(x) = 112 = 1 - 1 - 8 = 102, Так как числа 101 и 100 не делятся на 3, то можно сделать вывод, что 102 - это наименьшее трёхзначное натуральное значение R(x)

Ответ: 102

Хорошее решение!

Чуть подробнее обосную рассуждение с остатками. Все целые числа можно разбить на три класса: делящиеся на 3 без остатка, т.е. вида 3k; с остатком 1 при делении на 3, т.е. вида 3k+1; с остатком 2 при делении на 3, т.е. вида 3k+2.

Разберем три случая для c.
1) Если c=3k, то c-c^3 = 3k-(3k)^3 = 3(k-9k^3) - кратно трем.
2) Если c=3k+1, то c-c^3 = (3k+1) - (3k+1)^3 = 3(k-9k^3-9k^2-3k) - кратно трем.
3) Если c=3k+2, то c-c^3 = (3k+2) - (3k+2)^3 = 3(k-9k^3-18k^2-12k-2) - кратно трем.

Таким образом, c-c^3 кратно трем при любых целых c.

Значит, 100a-a^3 = 99a+(a-a^3) и 10b-b^3 = 9b+(b-b^3) тоже кратны трем.

Разумеется, знание свойств остатков (а тем более, сравнений целых чисел по некоторому модулю ) позволяет записать это рассуждение намного короче.

[Яков Самуилович]

Также можно было бы рассуждать так: c-c^3=-(c-1)c(c+1). В правой части произведение трех последовательных чисел, одно из которых кратно трем, а значит, и произведение кратно трем.