Задание 19. Алгебраическая сумма квадратов натуральных чисел от 1 до 21

[Яков Самуилович]

в) Оценка: Рассматриваем неотрицательные значения которым может равняться выражение. Сравним по модулю 4 выражение.
mod 4:
n: 0 1 2 -1
n²: 0 1 0 1
То есть квадраты чётных слагаемых делятся на 4 без остатка. Среди чисел от 1 до 21 - 11 нечётных чисел.
Если в выражении все нечётные слагаемые со знаком "+", то
<выражение> ≡ 11 ≡ -1 (mod 4)
И если поменять знак у нечётного слагаемого, то по модулю 4 выражение изменится на 2, и поэтому выражение сравнимо либо с 1, либо с -1 => выражение не может равняться чётному числу, а следовательно и нулю => выражение >= 1
Пример:

1²-2²+3²+4²-5²+6²+7²+8²+9²-10²+11²+12²+13²+14²+15²+16²+17²-18²-19²-20²-21²=1

Молодец, Александр!

Оценку можно было сформулировать проще, достаточно четности без рассмотрения остатков при делении на 4. Действительно, среди чисел от 1² до 21² имеется 11 нечетных и 10 четных. Значит, алгебраическая сумма этих чисел нечетная, т.е. не равна нулю.

Интересно понять, как вы составляли пример. Напишите, пожалуйста!

Я свой пример составлял, используя рассуждение про четверки из пункта б) и меняя кое-где знаки (это приводит к изменению суммы на удвоенное значение квадрата).

12343871761028973034.JPG (35.96 КБ) 26574 просмотра

[Александр Хоцков]

Я не стал опираться на пункт а. Попытался по одному слагаемому добавлять в выражение: с одного конца с одним знаком, с другого с другим, чтобы значение выражения было ближе к нулю. Так не образовывалось чередований знаков и проще менять знаки в уме у небольших слагаемых.