Задание 18. Система линейных уравнений с модулями, единственное решение

[Яков Самуилович]

888322224457777341113356.JPG (18.69 КБ) 46075 просмотров

[Шпренгер Константин]

График первого уравнения - квадрат со стороной длиной в 1 (левый нижний угол располагается в координатах (a, a)), причём при изменении а, его углы перемещаются по прямым вида y = p+x, где p - коэффициент для каждого угла. График второго уравнения - перевёрнутая "галочка", (причем коэффициент наклона этого графика до точки x=5 включительно больше коэффициента наклона прямой y = p+x в два раза)(*). Можно заметить что при изменении параметра а правый нижний угол квадрата с координатами (a+1, a) коснётся "галочки" в первый раз. Подставим значения x и y во второе уравнение(|x-5| раскрывается отрицательно, так как касание происходит до точки x = 5):
a+2(4-a)=6 ; a=2 .
При а<2 точек пересечения графиков нет из факта (*) . Исходя из факта (*) можно также сказать что при значениях параметра а (2; 5] графики будут пересекаться более чем в одной точке. При значения параметра а>5 все углы квадрата кроме левого нижнего будут справа от графика, а значит, что при увеличении параметра а может произойти второе касание графиков, при этом x=a ; y = a. подставим эти значения x и y во второе уравнение(|x-5| в данном случае раскрывается положительно):
a+2(a-5)=6 ; a=16/3
При а>16/3 точек пересечений графиков нет.
Ответ a ∈ {2 ; 16/3}

Ссылка на модель, поясняющую моё решение, в Desmos:
https://www.desmos.com/calculator/khvxsg59sn

[Слава Чаунин]

График первого уравнения - квадрат со стороной длиной в 1 (левый нижний угол располагается в координатах (a, a)), причём при изменении а, его углы перемещаются по прямым вида y = p+x, где p - коэффициент для каждого угла. График второго уравнения - перевёрнутая "галочка", (причем коэффициент наклона этого графика до точки x=5 включительно больше коэффициента наклона прямой y = p+x в два раза)(*). Можно заметить что при изменении параметра а правый нижний угол квадрата с координатами (a+1, a) коснётся "галочки" в первый раз. Подставим значения x и y во второе уравнение(|x-5| раскрывается отрицательно, так как касание происходит до точки x = 5):
a+2(4-a)=6 ; a=2 .
При а<2 точек пересечения графиков нет из факта (*) . Исходя из факта (*) можно также сказать что при значениях параметра а (2; 5] графики будут пересекаться более чем в одной точке. При значения параметра а>5 все углы квадрата кроме левого нижнего будут справа от графика, а значит, что при увеличении параметра а может произойти второе касание графиков, при этом x=a ; y = a. подставим эти значения x и y во второе уравнение(|x-5| в данном случае раскрывается положительно):
a+2(a-5)=6 ; a=16/3
При а>16/3 точек пересечений графиков нет.
Ответ a ∈ {2 ; 16/3}

Ссылка на модель, поясняющую моё решение, в Desmos:
https://www.desmos.com/calculator/khvxsg59sn

Я бы хотел спросить, как можно определить, что график первого уравнения - квадрат? Немного не понимаю.

[Шпренгер Константин]

Ссылка на построение графика в Desmos: https://www.desmos.com/calculator/uaaoyurwj2
Сначала посмотрим когда выражения под модулями равны нулю и построим соответствующие прямые(пунктирные линии). Вся координатная плоскость при этом разделится на 9 участков. Для каждого из участков раскрываем модули и получаем график квадрата.

[Слава Чаунин]

Спасибо, теперь все понятно. Классное решение.

[Яков Самуилович]

График первого уравнения - квадрат со стороной длиной в 1 (левый нижний угол располагается в координатах (a, a)), причём при изменении а, его углы перемещаются по прямым вида y = p+x, где p - коэффициент для каждого угла. График второго уравнения - перевёрнутая "галочка", (причем коэффициент наклона этого графика до точки x=5 включительно больше коэффициента наклона прямой y = p+x в два раза)(*). Можно заметить что при изменении параметра а правый нижний угол квадрата с координатами (a+1, a) коснётся "галочки" в первый раз. Подставим значения x и y во второе уравнение(|x-5| раскрывается отрицательно, так как касание происходит до точки x = 5):
a+2(4-a)=6 ; a=2 .
При а<2 точек пересечения графиков нет из факта (*) . Исходя из факта (*) можно также сказать что при значениях параметра а (2; 5] графики будут пересекаться более чем в одной точке. При значения параметра а>5 все углы квадрата кроме левого нижнего будут справа от графика, а значит, что при увеличении параметра а может произойти второе касание графиков, при этом x=a ; y = a. подставим эти значения x и y во второе уравнение(|x-5| в данном случае раскрывается положительно):
a+2(a-5)=6 ; a=16/3
При а>16/3 точек пересечений графиков нет.
Ответ a ∈ {2 ; 16/3}

Ссылка на модель, поясняющую моё решение, в Desmos:
https://www.desmos.com/calculator/khvxsg59sn

Браво, Константин! Действительно, классное решение!

Хочу предложить более рациональный способ построения графика первого уравнения (всё-таки 9 вариантов раскрытия модулей немного занудно, хотя преобразования в каждом из этих вариантов элементарные).

Рассмотрим функцию z1=|x-a|+|a+1-x|. Если x<=а, то z1=-2x+2a+1 - убывает. Если a<=x<=a+1, то z1=1 - константа. Если x>=a+1, то z1=2x-2a-1 - возрастает. (Короче говоря, график z1 - это "корыто", но на экзамене этот немного жаргонный термин лучше пояснять). Аналогично, для функции z2=|y-a|+|a+1-y|. Таким образом, левая часть всегда не меньше двух, причем значение 2 она принимает только при выполнении условий a<=x,y<=a+1. Этим условиям удовлетворяют внутренние и граничные точки квадрата с вершинами (a;a), (a,a+1), (a+1,a), (a+1,a+1).

[Яков Самуилович]

Кстати, интересно, как Desmos изображает график первого уравнения. Использовал модель Константина https://www.desmos.com/calculator/khvxsg59sn
Почему-то при подавляющем большинстве значений параметра a Desmos рисует только границу квадрата. При некоторых a график вообще исчезает, например, при a=-8.8, a=-4.6, a=-2.2, a=1.2 и некоторых других. При a от -0.9 до 0.6 какие-то эпизодические точки внутренности квадрата появляются (лучше всего видно при a=0.1). При a=0.9 даже не вся граница видна.

Это говорит о том, что компьютерные модели не могут являться критериями истинности для математического рассуждения. Только строго логически обоснованные рассуждения позволяют считать решение корректным!